Du måste sätta ihop regexet programmatiskt. Så antingen:
import re
regex = re.compile('^' + re.escape(variable))
items = collection.find({ 'key': regex })
ELLER
items = collection.find({'key': { '$regex': '^' + re.escape(variable) }})
Observera att koden använder re.escape
för att undvika strängen om den innehåller specialtecken.