Du behöver inte använda regex här, något enklare som detta borde fungera:
db.posts.find({"headers.Date": new Date(2001, 06, 06) })
Detta bör fungera om datumen du sparat i DB är utan tid (bara dag, månad, år)
Om du nu har sparat datum med new Date(), som också inkluderar tidskomponenterna, måste du skapa ett datumintervall som inkluderar alla ögonblick för den dagen :
db.posts.find( //query for all moments/time of a specific date
{"headers.Date": {"$gte": new Date(2001, 6, 6), "$lt": new Date(2001, 6, 7)}})
Obs! API:et för Datum är Date(ÅÅÅÅ,MM,DD) och räknas för 'månad' börjar från '0' och att räkna för 'datum' börjar från '1'.