Hur kan jag göra en fråga med mongoose från en funktion med hjälp av en parameter?

Använd parentesnotation för att skapa frågeobjektet dynamiskt, så att du kan strukturera om din funktion enligt följande:

function _partialSearch (Model, searchText, key, res) {
    var search = new RegExp(searchText, "i"),
        query = {};
    query[key] = { $regex : search };

    Model.find(query)
         .exec(function (err, docs) {
            if(err) log(err);
            else {
                res.json(docs);
            }
         });
}