Det här är inte heller det exakta svaret du letar efter, men du kan gå ganska nära med $in operatör:
db.i.find({
children : { $in : arr}
})
Tänk på att detta inte ger det ovan nämnda resultatet (det kommer att mata ut alla värden i arrayen och inte {_id:"1",children:["1.1"]}, ).
Men du kan till vad jag föreslog och efter detta i din ansökan iterera igenom alla resultat och att endast mata ut korsningen av barn med din array.