Mongo-fråga på flera fält av underdokument

Detta är faktiskt vad $elemMatch operatör är för även om den ofta missbrukas. Den utför i huvudsak frågevillkoren för varje element "inom" arrayen. Alla MongoDB-argument är en "och"-operation om inte annat uttryckligen kallas:

db.collection.find({ "arr": { "$elemMatch": { "name": "b", "num": 2  } } })

Du vill förmodligen också "projektera" här också om du bara förväntar dig det matchade fältet och inte hela dokumentet:

db.collection.find(
    { "arr": { "$elemMatch": { "name": "b", "num": 2  } } },
    { "arr.$": 1 }
)

Slutligen för att förklara varför ditt andra försök inte fungerar, denna fråga:

db.collection.find({
    "arr": [
        { "name": "b", "num": 2 }
    ]
})

Matchar ingenting eftersom det inte finns något verkligt dokument där "arr" innehåller ett singularelement som exakt matchar dina villkor.

Ditt första exempel misslyckades...:

db.collection.find({
    $and: [
        { "arr.name": "b" },
        { "arr.num": 2 }
    ]
});

Eftersom det finns flera arrayelement som uppfyller villkoren och detta anses inte bara att båda villkoren gäller för samma element. Det är vad $elemMatch lägger till, och när du behöver mer än ett villkor för att matcha, då är det här du använder det.