Facepalm!!!
Dockercontainrarna kommunicerade bra, problemet var att jag inte hade berättat för Resque (appen som använder Redis) var den skulle hittas. Tack till "The Real Bill" för att du påpekade att jag borde använda docker-cli.
För alla andra som använder Docker och Resque behöver du detta i din config/initializers/resque.rb fil:
Resque.redis = Redis.new(host: 'redis', port: 6379)
Resque.after_fork = Proc.new { ActiveRecord::Base.establish_connection }