Hur uppdaterar jag databasen samtidigt som du markerar kryssrutan med jquery?

Du har det nästan. du behöver bara läsa din kryssruta och skicka tillbaka den med din POST-förfrågan.

$(function(){
    $("#myonoffswitch").click(function(){
        var isOn = $("#myonoffswitch").prop("checked");
        $.post("notification.php", { 'onoffswitch': isOn }, function (result) {
            //handle success here
        });
    });