Du måste göra detta i två steg:
UPDATE MyTable
SET `Order` = `Order` + 1
WHERE `Order` > (SELECT `Order`
FROM MyTable
WHERE ID = <insert-after-id>);
...vilket kommer att flytta beställningsnumret för varje rad längre ner i listan än personen du infogar efter.
Sedan:
INSERT INTO MyTable (Name, `Order`)
VALUES (Name, (SELECT `Order` + 1 FROM MyTable WHERE ID = <insert-after-id>));
För att infoga den nya raden (förutsatt att ID är automatisk ökning), med ett beställningsnummer på en mer än personen du infogar efter.