Det korta svaret är att toDateTimeString() är vad du letar efter:
$input['published_at'] = Carbon::now()->toDateTimeString();
Se http://carbon.nesbot.com/docs/
för fler alternativ, inklusive toDateString() om du bara vill ha datumdelen och inte tiden.
Men ett ännu bättre sätt att hantera det skulle vara att låta Laravel sköta casting av datumvärdet till/från ett Carbon-objekt åt dig. Se https://laravel.com/docs/5.4/eloquent-mutators# datummutatorer .