Du får inte en dedikerad PostgreSQL-server med Heroku Postgres. Dina databaser är samlokaliserade med andra användares databaser på samma server. Du kommer att kunna se namnen på andra användares databaser, men du kommer inte att kunna komma åt dem.
Jag är inte säker på vad "kraschar min dator" betyder, men se till att du väljer din databas när du försöker ansluta.