om jag förstod din fråga korrekt, vill du matcha name fält med we nyckel och uppdatera arr bara om det finns?, måste du använda elemMatch, i annat för att få rätt dokument
db.test.update({ list: { $elemMatch: { name: "We" , arr: { $nin: [ "valuette" ] }} } }, { $push: { "list.$.arr": "valuette" } } );
$ i "list.$.arr" matchar det angivna indexet som matchar name fält med we värde
uppdatering:för att svara på OP-frågan