Projektarrangemang av objekt till nyckelvärde

Ja, med $arrayToObject och $map för att konvertera den befintliga arrayen till ett format som den accepterar:

db.collection.aggregate([
  { "$replaceRoot": {
    "newRoot": {
      "$arrayToObject": {
        "$concatArrays": [
          [{ "k": "date", "v": "$_id.date" }],  
          { "$map": {
            "input": "$aggr",
            "in": { "k": "$$this.gender", "v": "$$this.count" }
          }}
        ]
      }
    }    
  }}
])

Naturligtvis om detta faktiskt bara är på "svansen" av en befintlig aggregering och du inte har åtminstone MongoDB 3.4.4 där operatören introduceras, så kan du helt enkelt omforma resultatet i klientkoden:

db.collection.aggregate([
  // existing pipeline
]).map(d => 
  Object.assign(
    { date: d._id.date },
    d.aggr.reduce((acc,curr) =>
      Object.assign(acc,{ [curr.gender]: curr.count }),{}
    )
  )
)