Och självklart hittar jag svaret direkt efter att jag postat frågan. Från det här svaret är lösningen att lägga till en [BsonIgnoreIfDefault]
attribut till ID. I exemplet från frågan skulle det vara:
public class MongoObject
{
[BsonId(IdGenerator = typeof(StringObjectIdGenerator))]
[BsonRepresentation(BsonType.ObjectId)]
[BsonIgnoreIfDefault] // <--- this is what was missing
public string MongoID { get; set; }
public int Index { get; set; }
}