Jag verkar inte komma på hur jag ska uppdatera min senaste inloggningstid

I din fråga här:

UPDATE users_table SET 'date_last_inlog' = NOW() WHERE user_name  = '$user_name'

Försök att ta bort citattecken runt date_last_inlog eller ändra dem till backticks:

UPDATE users_table SET date_last_inlog = NOW() WHERE user_name  = '$user_name'

Använd inte heller mysql_* funktioner, använd mysqli eller PDO istället. Din kod är sårbar för SQL Injection.