Hur kan jag kontrollera om MySQL och Tomcat körs?

Det enklaste sättet skulle vara att bara ansluta servern och se om det lyckas.

MySQL:

Connection connection = null;
try {
    connection = DriverManager.getConnection(url, username, password);
    // Succes!
} catch (SQLException e) {
    // Fail!
} finally {
    if (connection != null) try { connection.close(); } catch (SQLException ignore) {}
}

Tomcat:

try {
    new URL(url).openConnection().connect();
    // Succes!
} catch (IOException e) {
    // Fail!
}

Vill du ha lite mer specifik status, t.ex. kontrollera om en viss DB-tabell är tillgänglig eller en specifik webbapp-resurs är tillgänglig, då måste du aktivera en mer specifik SELECT uttalande respektive HTTP-begäran.