MySQL-sökfråga på två olika fält

Du måste återställa konkat-uttrycket i din where-sats.

 SELECT CONCAT(first_name, ' ', last_name) as fullname 
      FROM users 
     WHERE CONCAT(first_name, ' ', last_name) LIKE '%doe%';

Tyvärr skapar "as" bara ett kolumnalias, inte en variabel som du kan använda någon annanstans.