1. Ja, du kan ha flera databasanslutningar. Du öppnar inte en databas, du öppnar en databasanslutning. Databasen är "öppen" (dvs. körs) hela tiden, generellt sett, oavsett om du är ansluten till den eller inte.
2. Beroende... om du bara har en öppen anslutning på en sida behöver du inte stänga den eftersom den stängs automatiskt när PHP är klart. Om du har många, kan du potentiellt göra databasservern långsammare, eller få databasservern att ta slut på tillgängliga anslutningar (den kan bara ha ett visst antal anslutningar öppna samtidigt). Som sagt, de flesta moderna databasservrar kan hantera hundratals samtidiga anslutningar.
3. Valfritt, men rekommenderas. Det är inte en stor sak för små och medelstora projekt (dvs. om du har färre än 100 samtidiga besökare vid en given tidpunkt, kommer du förmodligen inte att ha några problem oavsett). Eftersom du har många tusen besökare per minut bör du aktivt stänga databasanslutningen så fort du är klar med den, för att frigöra den så snart som möjligt.