Löst!
Arturs Licis förslag var nyckeln. På något sätt hade mysql-drivrutinen laddats ned felaktigt. Det verkade vara en .jar-fil, men kunde inte laddas. Tomcat visade bara den första nivån av undantaget:
java.lang.ClassNotFoundException: com.mysql.jdbc.Driver
[...]
Men när jag kodade en väldigt enkel helloworld med Class.forName("com.mysql.jdbc.Driver"), visades följande fel istället:
java.lang.ClassNotFoundException: com.mysql.jdbc.Driver
[...]
Caused by: java.util.zip.ZipException: invalid LOC header (bad signature)
[...]
Eureka! Att öppna .jar-filen på WinRar visar att den kan vara öppen... men med några fel.
Att ladda ner drivrutinen igen löste problemet.
Rösta ned för mig själv :-(