Enkelt Ajax Jquery-skript - Hur kan jag få information om var och en av raderna i tabellen?

Det gamla MySQL-tillägget mysql är föråldrad, använd mysqli bättre eller PDO !

mysql_fetch_row() returnerar endast 1 rad!Du måste lägga den i en slinga, till exempel:

$data = array();
while ( $row = mysql_fetch_row($result) )
{
  $data[] = $row;
}
echo json_encode( $data );

Du måste också ändra JavaScript:

$.ajax({                                      
  url: 'api.php', data: "", dataType: 'json',  success: function(rows)        
  {
    for (var i in rows)
    {
      var row = rows[i];          

      var id = row[0];
      var vname = row[1];
      $('#output').append("<b>id: </b>"+id+"<b> name: </b>"+vname)
                  .append("<hr />");
    } 
  } 
});

Förresten skulle jag rekommendera dig att använda mysql_fetch_assoc() eftersom det gör din kod mer flexibel och renare.