Atlast hittade lösningen...
Problemet var inte med Android- eller php-delen. Det var problemet med servern. Hostingsidan som jag använde, skickar cookies till klientsidan som inte hanteras inuti Android utan hanteras automatiskt av webbläsare. Jag brukade använda en annan värdsida där cookies inte är inblandade och fick den nödvändiga json-utgången.