ConnectionString-egenskapen har inte initierats fel i VB.NET

Du tilldelade aldrig din anslutningssträng till anslutningsobjektet, precis som felet säger.

Infoga en rad som ställer in anslutningssträngen innan con.open.

Con.connectionstring = connection
Con.Open()

Eller ännu bättre, ändra din användningssats enligt följande

Dim Connection As String = "Data Source=.\SQLEXPRESS;AttachDbFilename=G:\VB Project\Library Catalog System\Library Catalog System\library.mdf;Integrated
Security=True;Connect Timeout=30;User Instance=True"

Using Con As New SqlConnection(connection)