Detta är ett behörighetsproblem, du kör som mongod (eller mongodb etc.) användare när du startar via tjänsten, och du kör sannolikt som root (du bekräftar detta i kommentarerna ovan) när du använder sudo eller anropar som root. Du måste fixa behörigheterna för alla filer i den mappen och aldrig starta tjänsten som root.
För att fixa filerna baserat på vad du har postat, förutsatt att din relevanta användare är mongodb och gruppen är mongodb, skulle du göra följande med sudo (eller som root) - ersätta lämplig användare för ditt system:
chown -R mongodb:mongodb /var/lib/mongo
chown -R mongodb:mongodb /var/run/mongodb
chown mongodb:mongodb /var/log/mongo/mongod.log
När du har fixat behörigheterna för dessa mappar bör du kunna starta via tjänsten igen. Notera:om du postar utdata från ls -al /var/lib/mongo då kan jag ge dig de exakta kommandon du behöver för att köra