I enklaste form skulle du använda LIKE jämförelse:
SELECT * FROM table WHERE name LIKE '%smith%';
Mer komplicerade sökningar kan göras med FULLTEXT index (stora mängder text), SOUNDEX() (fungerar på ord på det engelska språket, matchning på andra språk är allt från "något fungerande" till "hemskt"), levenshtein avstånd mellan ord etc.