Sätt dina datumvärden inom enkla citattecken eftersom de är bokstavliga strängar, annars kan inte MySQL se att det är ett datum och inte siffran (2011 MINUS 1 MINUS 1 =2009).
Du behöver inte heller DATE()-kasten runt dem.
SELECT
*
FROM
shortleavedetails
WHERE
employee_code = '17'
AND
(DATE(authorizeddate) <= '2011-01-01'
AND
DATE(authorizeddate) >= '2010-05-01')