Jag är inte vid en maskin med php för att testa detta, men du har frågor med variabler enligt följande...
"select id from votes where username = '$user' and article_id = $this->id"
Jag är ganska säker på att du behöver fästa eller sammanfoga när du använder objekt...
"select id from votes where username = '$user' and article_id = ${this->id}"
eller
"select id from votes where username = '$user' and article_id = " . $this->id