För att ytterligare lokalisera orsaken till problemet nedgraderade jag MySQL ODBC-drivrutinen 5.3.6 på den nya datorn till version 5.3.4 (som finns på den gamla) och nu fungerar det ! För att bekräfta att detta verkligen är orsaken uppgraderade jag till version 5.3.6 igen och det misslyckades igen.
Så det ser ut som att MySQL ODBC-drivrutinen 5.3.6 (släpptes för 8 månader sedan!) har problem med att hantera utdataparametrar från en (lokal) MySQL Server 5.7.16, kanske bara i kombination med ADODB och Windows 10.
Så för tillfället kommer jag att använda 5.3.4-versionen och rapportera ett fel till MySQL.