Tack vare @Matts hjälp kom jag på vad som hände. Volymen (alias postgres-databasen) blev skadad så fort jag kopplade två behållare till den samtidigt.
Det är dock möjligt att tillåta flera behållare att ansluta till en enda databasbehållare, men inte genom att dela volymer. Du skulle behöva skapa en ny behållare som skulle köra postgres-demonen och sedan kan andra behållare ansluta till den via tcp-sockets. För mer information om hur du gör detta läs dokumenten